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从有限覆盖定理出发，M]的无限开覆盖。从有限覆盖定理，也就是说这个开覆盖没有有限子覆盖，我觉得我对有限覆盖定理的理解是有问题的，证明了有限覆盖定理的闭区间如开区间(0，1)可以被一族开区间(1/n，1)覆盖，也就是说{(1/n，1)}是开区间(0，1)的开覆盖，但这一族开区间只有在n趋于无穷大时才能覆盖(0，1)，n n和开区间可以任意选取。

Prove:通过反证法，假设有一个集合A有一个上界m但没有上确界，设A是A中的一个元素，那么A考虑一个闭区间，因为它是一个有界闭集，所以有限覆盖定理成立。具体来说，假设有一系列开集覆盖它，那么先找一个能覆盖0的开集，假设是A，因为是开集，所以A包含一个开区间(-ε，ε)。如果这个开区间不能覆盖所有点，那么找一个N，其中N>1/ε。在这种情况下，(-ε，ε)可以覆盖{1/n，1/(N-1)，}。也就是说，(-ε，ε)即使不能覆盖全部，也能覆盖有限的数。

S是你的系列的集合。反证假设S中没有聚集点，那么对于任何属于S的X，都有一个ex，并且在S.T.X的ex区域中只有一个点，所以现在我们找到了一个无限开覆盖:X的EX区域，对于任何X，因此，存在一个有限覆盖，假设是x1，x2，...xn。注意:每个覆盖范围内只有一个S点，这一堆最多有n个覆盖，与S是无限集合相矛盾。事实证明如此，设﹛xn﹜是一个有界数列，并把它们都包含在内。如果I不是有界闭区间，I将被表示为一组有界闭区间的并集，关键是证明f(I)是中间的。这个题目其实就是证明连续函数的中间定理，如果是开区间，可以说函数拓展到闭区间，端点函数值可以取相应的单边极限。另外，如果是无界区间，可以假设如果f(x)是闭区间[a，b]上的连续函数，那么Usup{f(x)}，函数f(x)，区间[a，b]和f(x)在区间上的上确界是M，下证明中有一点H的存在就反证f(h)M:如果结论不成立，则在任意一点z都有f(z)。